本站小編為你精心準備了棱形六面體的兩兩面疊合參考范文，愿這些范文能點燃您思維的火花，激發(fā)您的寫作靈感。歡迎深入閱讀并收藏。

《數(shù)學雜志》2015年第六期

摘要:

本文研究了棱形六面體經(jīng)兩兩面面疊合后所能得到幾何體.利用流形判別和基本群計算的基本方法,獲得了在可能疊合到的476種幾何體中,有409種不是流形,而在是流形的情形時,其基本群包括1,Z,Z2,Z3,Z5,Z7,Z8以及5種只能用關(guān)系表示的群.

關(guān)鍵詞:

三維流形;基本群;棱形六面體疊合

1引言

就三維流形的構(gòu)作而言,到目前為止,已有許多頗為有效的方法,如利用Heeggard圖式,Dehn手術(shù)以及紐結(jié)理論等,近年來應用雙曲幾何的方法來討論三維流形也逐漸形成趨勢,成為研究三維流形不可或缺的重要方法(見文獻[1–3]）.在對曲面進行分類過程中,許多好的曲面如球面,環(huán)面,Klein瓶等都可用一矩形面片經(jīng)過邊的兩兩疊合而得到,這啟發(fā)我們想到能否對空間中的體經(jīng)過類似的線疊合和面疊合而得到三維流形.本文試圖對體的一種簡單模型――棱形六面體,經(jīng)過面面、線線疊合得到的多面體進行研究,這種疊合的種類共476種.在文獻[4]中,有關(guān)于該情況下判斷多面體是否是流形以及如何計算其基本群的方法.在文獻[5]中,可見到關(guān)于經(jīng)四面體疊合的多面體的基本群的結(jié)論,但計算方法卻沒有給出,本人曾對這個模型進行了詳盡計算,得到了與之相同的結(jié)論（見文獻[6]）,而在此基礎(chǔ)上對另一種模型的研究,則是本文的主要內(nèi)容.

2基本結(jié)論

引理2.1[4]設(shè)M是由成對地疊合一個多面體的面而成的復合形,則M是流形的充要條件是它的示性數(shù)為0.注疊合時若有公共棱,則定向的棱與它的定向的反向不能相互疊合,因為此時其中間點找不到與之疊合的其它點,這樣疊合而成的多面體不是流形.以下回到本文討論的重點:如圖2,給定棱形六面體,經(jīng)兩兩對折后變成一復合形M,將討論:1)M是否為流形;2)若M是流形,其基本群為何者.規(guī)定,前面上下面分別為①②,后右側(cè)上下面分別為③④,后左側(cè)上下面分別為⑤⑥,再規(guī)定,頂點1,2,3,4,5如圖2,各條棱a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9也如圖2.疊合后幾何體M的零維Betti數(shù)恰為頂點的個數(shù),以下簡寫為“0維”,一維Betti數(shù)為疊合后邊的個數(shù),簡寫為“1維”,二維Betti數(shù)位疊合后面的個數(shù),簡寫為“2維”,三維Betti數(shù)位復合形的個數(shù)1,記為“3維”.現(xiàn)將六個面兩兩對折,使得頂點與頂點重合,邊線與邊線重合,這時中間的面將相應重合,如①②對折,有五種折法。

3棱形六面體的兩兩面疊合

總體而言,從折法上看,可以分成五類情況:分別為折法一,①②對折,③④對折,⑤⑥對折;折法二,①②對折,③⑥對折,④⑤對折;折法三,①②對折,③⑤對折,④⑥對折;折法四,①④對折,③⑥對折,⑤②對折;折法五,①③對折,④⑥對折,⑤②對折.限于篇幅,本文無法對476種情形一一闡述,僅將上述5種折法中的典型情形各舉一個例,并把得到的結(jié)果以表格的形式給出(見表1–5).總之,將本節(jié)所得各結(jié)論綜合,棱形六面體經(jīng)過兩兩面疊合后,在同胚的意義下,總計476種疊法中,可以得到為數(shù)不多的幾種情形,其基本群包括1,Z,Z2,Z3,Z5,Z7,Z8以及只能用關(guān)系表示的群。

參考文獻

[1]干丹巖.代數(shù)拓撲和微分拓撲簡史[M].長沙:湖南教育出版社,2004.

[2]ScottP.Theclassificationofcompact3-manifolds[A].ThickstunTL.Lowdimentionaltopology[C].London:CambridgeUniversityPress,1982:3–8.

[3]WilliamJaco.0-efficienttriangultionsof3-manifolds[J].JournalofDifferentialGeometry,2003,65:61–168.

[4]SeifertH,ThrefallW.拓撲學(江澤涵譯)[M].北京:人民教育出版社,1954.

[5]WilliamJaco.IntroductiontothehomeomorphismProblem[J/OL].jaco,2005.

[6]王建軍.四面體的兩兩面疊合[J].吉林師范大學學報(自然科學版),2013,34(2):131–134.

作者：王建軍 單位：淮北師范大學數(shù)學科學學院