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摘要

隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的迅速發(fā)展，高等數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用越來越廣泛．常微分方程作為高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分，本文將對它在經(jīng)濟(jì)管理中的重要應(yīng)用作初步探索，主要包括市場均衡價(jià)格分析、新產(chǎn)品的銷售速度分析、廣告的效果分析三個(gè)方面．

關(guān)鍵詞常微分方程；經(jīng)濟(jì)管理；市場均衡價(jià)格銷售速度；廣告。

隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的迅速發(fā)展，數(shù)學(xué)在我們的生活中可以說無處不在，尤其是在經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用越來越廣泛．經(jīng)濟(jì)學(xué)必須進(jìn)行定量研究．而高等數(shù)學(xué)是對經(jīng)濟(jì)管理問題進(jìn)行定量研究的最重要、最基本的數(shù)學(xué)工具之一．為了研究經(jīng)濟(jì)變量之間的聯(lián)系及其內(nèi)在規(guī)律，常常需要建立某一經(jīng)濟(jì)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)所滿足的關(guān)系式，并由此確定所研究函數(shù)的形式，從而根據(jù)一些已知條件來確定該函數(shù)的表達(dá)式．從數(shù)學(xué)上講，就是建立微分方程并求解微分方程．用微分方程解決問題時(shí)總有三個(gè)主要過程：

第一步是建模，即根據(jù)實(shí)際問題建立起適當(dāng)?shù)奈⒎址匠?，給出其定解條件．這需要對問題有深刻的理解，并進(jìn)行必要的假設(shè)，忽略一些次要因素，選取變量，從這些變量之間的關(guān)系建立起所滿足的微分方程，給出定解條件．這就是將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化．第二步，求解所建立的微分方程，這包括求出它的解析解或者數(shù)值解，或者從微分方程分析變量的變化規(guī)律．第三步是對所得的數(shù)學(xué)結(jié)果進(jìn)行翻譯，用來解釋一些現(xiàn)象，或?qū)栴}的解決提出建議或方法．本文將通過具體模型來研究和介紹微分方程在經(jīng)濟(jì)管理中的重要應(yīng)用．主要包括市場均衡價(jià)格分析、新產(chǎn)品的銷售速度分析、廣告的效果分析等三個(gè)方面．

1市場均衡價(jià)格分析

設(shè)有某種商品，其價(jià)格主要由市場供求關(guān)系決定，或者說，該商品的供給量Q與需求量Q只與該商品的價(jià)格P有關(guān)．為簡單起見，設(shè)供給函數(shù)與需求函數(shù)分別為當(dāng)供給量與需求量相等時(shí)，即Q—Qd，由(1)式求得供需相等時(shí)的價(jià)格為稱為該種商品的均衡價(jià)格．一般地說，當(dāng)市場上該商品供過于求(Q>)時(shí)，價(jià)格將下跌；供不應(yīng)求(QJ<)時(shí)，價(jià)格將上漲．因此，該商品在市場上的價(jià)格將隨著時(shí)間的變化而圍繞著均衡價(jià)格上下波動(dòng)，價(jià)格P是時(shí)間t的函數(shù)P(￡)．根據(jù)上述供求關(guān)系變化影響價(jià)格變化的分析，可以假設(shè)時(shí)刻價(jià)格P()的變化率dP與時(shí)刻d的超額需求量—Q成正比，即設(shè)這表明，實(shí)際價(jià)格P(￡)最終趨向于均衡價(jià)格P。

2新產(chǎn)品的銷售速度分析

對于開發(fā)的某種新產(chǎn)品，生產(chǎn)者非常關(guān)心它的銷售速度．那么，怎樣建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型來描述它，并由此分析出一些有用的結(jié)果以指導(dǎo)生產(chǎn)呢?

記時(shí)刻t時(shí)已售出的新產(chǎn)品數(shù)為X，假設(shè)該產(chǎn)品使用方便，這些正在使用的新產(chǎn)品實(shí)際上起著宣傳的作用，吸引著尚未購買的顧客，設(shè)每一個(gè)新產(chǎn)品在單位時(shí)間內(nèi)平均吸引K個(gè)顧客，由此可知，X(￡)滿足微分方程：

這一結(jié)果與事實(shí)不符．模型(3)只考慮了實(shí)物廣告的作用，而忽略了廠家可以通過其他方式宣傳新產(chǎn)品，從而打開銷路的可能性．若通過努力已有X。的產(chǎn)品投入使用，這時(shí)X(在開始階段的增長情況與(4)式的結(jié)果擬合較好．在(4)式中，這也與事實(shí)不符．事實(shí)上，X(￡)應(yīng)當(dāng)有一個(gè)上界，設(shè)需求量的上界為K，則尚未使用新產(chǎn)品的戶數(shù)為K—x(￡)，由統(tǒng)計(jì)規(guī)律可知，-~X(K—x)成正比，比例系數(shù)為r，則當(dāng)￡<to時(shí)，>0，即X，單調(diào)增加，這表示在銷售量小于最大需求量的一半時(shí)，銷售速度X()不斷增大；當(dāng)>to時(shí)，<0，即X單調(diào)減小，這表示在銷售量達(dá)到最大需求量的一半時(shí)(￡一to)，產(chǎn)品最暢銷，其后(即t>to)，銷售速度X開始下降．基于對Logistic曲線的分析，國外研究普遍認(rèn)為：從2O用戶到8O用戶采用某一新產(chǎn)品的這段時(shí)期，應(yīng)是該產(chǎn)品正式大批量生產(chǎn)的較合適的時(shí)期，初期應(yīng)采用小批量生產(chǎn)并加以廣告宣傳，后期則應(yīng)適時(shí)轉(zhuǎn)產(chǎn)，這樣做可以取得較高的經(jīng)濟(jì)效益．

3廣告效果的分析

信息社會(huì)使廣告成為調(diào)整商品銷售的強(qiáng)有力手段，廣告與銷售之間有什么內(nèi)在聯(lián)系?如何評價(jià)不同時(shí)期的廣告效果?這也需要借助數(shù)學(xué)模型進(jìn)行研究．首先認(rèn)為廣告對產(chǎn)品的銷售速度又直接的促進(jìn)作用，以銷售速度為研究對象，設(shè)s(￡)為時(shí)刻t的產(chǎn)品銷售速度，并作以下假設(shè)：

(1)不考慮廣告作用時(shí)，銷售速度具有自然衰減的性質(zhì)，即產(chǎn)品銷售速度隨著時(shí)間而減少，滿足這一性質(zhì)的銷售速度其中為衰減因子

(2)產(chǎn)品的銷售速度會(huì)因廣告而增加，但增加是有一定限度的，當(dāng)產(chǎn)品在市場上趨于飽和時(shí)，銷售速度將趨于極限值，這時(shí)無論采取哪種形式做廣告(不包括其他的促銷手段)，都不能使銷售速度增加．假設(shè)M為銷售飽和水平，即市場對產(chǎn)品的最大容納能力，它對應(yīng)著銷售速度的上限．當(dāng)銷售速度達(dá)到飽和水平之后，廣告已不起作用，銷售速度隨時(shí)間增加而自然衰減，同樣為衰減因子，>0且為常數(shù)．產(chǎn)品的銷售速度與廣告的投入水平有關(guān)，設(shè)A(t)為時(shí)刻單位時(shí)間的廣告投入水平(以費(fèi)用表示)，夕為投入的響應(yīng)系數(shù)，即投入A(￡)對銷售速度

4結(jié)語

綜上所述，微分方程在經(jīng)濟(jì)管理中有著重要的應(yīng)用，通過建立數(shù)學(xué)模型能夠解決很多復(fù)雜的實(shí)際經(jīng)濟(jì)問題．本文所述只是微分方程在經(jīng)濟(jì)管理中應(yīng)用的一小部分，有待于進(jìn)一步的探討．需要指出的是，使用微分方程解決問題時(shí)，要根據(jù)實(shí)際問題適當(dāng)?shù)厥褂梦⒎址匠蹋S著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，高等數(shù)學(xué)將不僅在經(jīng)濟(jì)管理方面是一個(gè)有效的解決問題的工具，而且在其它領(lǐng)域，諸如環(huán)境治理、人口預(yù)測、傳染病的傳播、藥物在人體內(nèi)的分布等方面也會(huì)得到越來越多的應(yīng)用，為人們解決越來越多的實(shí)際問題。