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《解放軍理工大學(xué)學(xué)報》2016年第3期

摘要:

為了更為細(xì)致的討論非恒常量的垂向湍粘性系數(shù)對ekman流解的影響,基于微分方程的特征值理論,簡要分析了在不同垂向湍粘系數(shù)分布的條件下,Ekman流解所具有的結(jié)構(gòu)特征,并結(jié)合數(shù)值方式模擬了Ekman流的垂向結(jié)構(gòu).在開邊界條件下,不同深度的數(shù)值模擬結(jié)果較為一致,數(shù)值模擬驗(yàn)證了Ekman流的垂向結(jié)構(gòu)與湍粘系數(shù)垂向分布的特征有密切關(guān)系.據(jù)此,得出如下結(jié)論:不同的垂向湍粘系數(shù)結(jié)構(gòu)將改變Ekman流的影響深度及表層流與風(fēng)應(yīng)力的夾角;此外,Ekman流解含有垂向湍粘系數(shù)分布的特征;理論推導(dǎo)和數(shù)值試驗(yàn)均表明,在不同的黏性系數(shù)垂向分布狀態(tài)下,Ekman漂流具有不同的垂向結(jié)構(gòu),且影響深度也各不相同.

關(guān)鍵詞:

微分方程;特征值理論;數(shù)值模擬;Ekman流解

物理海洋學(xué)的基本方程是基于NGS方程疊加地轉(zhuǎn)效應(yīng)而產(chǎn)生,在海洋學(xué)中,該方程組呈現(xiàn)復(fù)雜的非線性和無窮維[1]的特征.對方程解析解的研究多基于尺度分析簡化,在海洋波動及流動穩(wěn)定性等問題中,分離變量法[2G4]的方法較為常用,在涉及波動問題時,文獻(xiàn)[2G4]均利用了三角函數(shù)或者復(fù)指數(shù)進(jìn)行討論,其中復(fù)指數(shù)形式具有明顯可分離變量的特征.文獻(xiàn)[5]利用分離變量法討論了中尺度渦的行波結(jié)果.海洋學(xué)中引入分離變量的形式是以諧波的方式引入[2G5],并通過分析波數(shù)和圓頻率之間的關(guān)系,得出方程解的頻散特征等解的定性結(jié)構(gòu),如頻散性、波動的振動周期行為、相速等.上述方案需要通過簡化手段處理波動方程,但使得簡化方程的解無法具體描述原方程的漸變過程.

特征值理論[6G9]是數(shù)學(xué)物理方法中處理微分方程常用的理論之一,微分方程的特征值往往由約束條件控制.例如在對Ekman流解進(jìn)行分析時,文獻(xiàn)[2G4]均采用經(jīng)典解形式,取黏性系數(shù)為常量,隨著研究的深入,文獻(xiàn)[10G11]對Ekman流解中非常數(shù)性質(zhì)的黏性系數(shù)對解的影響進(jìn)行了比對,結(jié)果表明解的結(jié)構(gòu)存在顯著差異.對此,通過引入特征值方案,可以將海水的層化效應(yīng)等海洋要素存在垂向變化的現(xiàn)象引入方程的分析中.由于求取此類方程的解析解較為困難,因此需引入數(shù)值解對部分推導(dǎo)進(jìn)行驗(yàn)證.本文從微分方程特征值理論出發(fā),利用該方案簡要討論不同湍粘性系數(shù)垂向分布的流體結(jié)構(gòu)對Ekman流解的約束特點(diǎn),然后利用數(shù)值方案對部分推導(dǎo)進(jìn)行驗(yàn)證.

1特征值理論的應(yīng)用

分離變量法是將偏微分方程分解為2個或多個只含1個變量的常微分方程,并通過求取特征值的方式求出各分量的表達(dá)式,然后合成原始方程的解形式.最為常見的分離變量方案是對波動方程進(jìn)行求解的方案,波動方程如下:∂2u∂t2－c2􀅰∂2u∂x2＝0.(1)式中:u為待解函數(shù);c為波速,這里取常值;t為時間;x為空間.在求解的時候,往往設(shè)解的形式為u＝X(x)􀅰T(t),代入式(1)可得相應(yīng)關(guān)系.此外,還有簡化的代入形式,取u＝A􀅰e－1􀅰(kx－σt)代入,可以直接求得相應(yīng)波數(shù)和圓頻率之間的匹配關(guān)系.這在海洋學(xué)的波形研究中十分常見,海洋各種運(yùn)動現(xiàn)象的頻散關(guān)系有著十分重要的意義,式(1)的波速約束了方程解的特征,但在波速存在變化的條件下,該方案只能定性的分析方程解特征,往往無法獲得方程解結(jié)構(gòu).因此,引入特征值理論對Ekman流解等常見現(xiàn)象進(jìn)行分析.

2Ekman流的數(shù)值解

數(shù)值驗(yàn)證涉及邊界處理方案,這在海洋數(shù)值計算當(dāng)中不可忽略[12G14],傳統(tǒng)的輻射邊界條件、海面邊界條件等都會有反射[15]等計算假象出現(xiàn),本文通過構(gòu)造一種自由邊界方案以驗(yàn)證本文推導(dǎo)的合理性.

2．1數(shù)值方案及邊界格式介紹

本節(jié)的邊界格式是基于泰勒理論推導(dǎo)而來,對于函數(shù)φ,假定φ∈Cn[a,b](n取正整數(shù)),且其n＋1階導(dǎo)數(shù)φ(n＋1)在定義域[a,b]內(nèi)存在,則對于函數(shù)定義域?yàn)槿我鈨牲c(diǎn)x0∈[a,b],(x0＋Δ)∈[a,b],φ可以表示為φ(x0＋Δ)＝∑ni＝0φ(i)x0i!􀅰Δn＋OΔn＋1().式中,OΔn＋1()為n階泰勒展式∑ni＝0φ(i)x0i!􀅰Δn的階段誤差.本文共建立了兩個試驗(yàn)方案:試驗(yàn)一,取計算格點(diǎn)90個;試驗(yàn)二,取計算格點(diǎn)180個,以延拓試驗(yàn)一的計算區(qū)域,數(shù)值解如圖1所示,其中,圖1(a),(b)的圖例表示u的取值范圍,圖1(c)為兩個試驗(yàn)在試驗(yàn)一邊界位置處數(shù)值解的對比.從圖1可以看出,數(shù)值方案及邊界格式可以很好地模擬一維平流方程,在與解析解對比后,發(fā)現(xiàn)其解與解析解基本一致,模擬效果基本無計算假象存在.

2．2Ekman漂流結(jié)構(gòu)的數(shù)值模擬

對§1描述的Ekman漂流方程進(jìn)行數(shù)值模擬,利用WOA05(WorldOeanAtas2005cl)溫鹽數(shù)據(jù)診斷的密度(圖2)和文獻(xiàn)[10]的Az與其他要素的變化關(guān)系,求解式(3),海表風(fēng)應(yīng)力為τ＝0＋0􀆰1i,計算空間步長為0􀆰1m,共設(shè)置了4組試驗(yàn):exp_1、exp_2、exp_3、exp_4,每組試驗(yàn)包含兩個對比,一個深度120m,一個深度80m,所設(shè)試驗(yàn)均為開邊界條件試驗(yàn)如下:exp_1采用文獻(xiàn)[11]中黏性系數(shù)隨深度指數(shù)衰減的表達(dá)式;exp_2采用文獻(xiàn)[11]中黏性系數(shù)隨深度線性衰減的表達(dá)式;exp_3采用文獻(xiàn)[10]的黏性系數(shù)表達(dá)式;exp_4中,Az＝0􀆰01.得到的結(jié)果如圖3和圖4所示:圖3(a)和圖4(a)對應(yīng)exp_1,其中Az隨深度呈指數(shù)衰減;圖3(b)和圖4(b)對應(yīng)exp_2,其中Az隨深度呈線性衰減;圖3(c)和圖4(c)對應(yīng)exp_3,其中Az＝v0(1＋5􀅰Ri)2＋vb,v0＝0􀆰01m2/s,vb＝0􀆰001m2/s,Ri為理查德孫數(shù),該表達(dá)式考慮了密度分布的影響;圖3(d)和圖4(d)對應(yīng)理想Ekman曲線.圖中粗?jǐn)嗑€線型為風(fēng)應(yīng)力,圖3和圖4顯示了在不同黏性系數(shù)表達(dá)式下的數(shù)值解,相關(guān)計算結(jié)果及對比見表1－3,表1和表2的Ekman深度指流速衰減至表層流速的e－π倍的深度,理想解析解的深度為43􀆰8101m.表2中,exp_2的計算深度為80m,在線性衰減的垂向湍粘性系數(shù)的情形下,該深度小于線性減試驗(yàn)的Ekman深度,故該試驗(yàn)的影響深度取為80m.4個試驗(yàn)的計算結(jié)果和§2􀆰1的數(shù)值對比表明,本例的數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果可信度較高。

對于典型層化流體,如圖3(c)和圖4(c)所示,考慮到垂向湍黏性系數(shù)隨密度、流速變化[10](圖3(c)及圖4(c)),相對于理想解,Ekman流的影響深度局限在上層,圖3和圖4顯示了不同的黏性系數(shù)分布將導(dǎo)致Ekman流解呈現(xiàn)不同的特征.同時,本文還對比了垂向湍粘性系數(shù)的線性衰減方式,發(fā)現(xiàn)衰減快慢對影響深度有較大影響,數(shù)值解與垂向湍粘性系數(shù)的相關(guān)性較高.這些解的模與垂向湍粘性系數(shù)的相關(guān)度為:指數(shù)減0􀆰7363;線性減0􀆰9214;含層結(jié)0􀆰9698.這些印證了§1的推導(dǎo).

3結(jié)論

本文探討了微分方程特征值理論在Ekman流解中的分析應(yīng)用,從§1的推導(dǎo)可以看出,考慮更為細(xì)致的解結(jié)構(gòu)時,方程的解形式包含有垂向指數(shù)項(xiàng)和垂向湍粘系數(shù)結(jié)構(gòu)特征,這一作用表明海水EkGman流解顯著受到垂向湍粘系數(shù)分布結(jié)構(gòu)的影響,運(yùn)動的影響深度更為復(fù)雜,同時,也表明此類方程分析方法在海洋學(xué)中有應(yīng)用意義.§2選取了4種不同垂向結(jié)構(gòu)的黏性系數(shù)表達(dá)式,利用數(shù)值方案模擬了Ekman漂流的垂向特征,發(fā)現(xiàn)層化現(xiàn)象對于EkGman流的影響較大,且在不同的黏性系數(shù)分布下,Ekman流具有不同的分布特征和影響深度,這印證了§1的推導(dǎo)結(jié)論.

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作者:陳璇 鄭崇偉 吳雪劍 單位:解放軍75822部隊(duì) 海軍大連艦艇學(xué)院 解放軍理工大學(xué)氣象海洋學(xué)院