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《曲學(xué)》2016年第0期

摘要:隨著工程建設(shè)的不斷復(fù)雜，直梁已經(jīng)無(wú)法滿(mǎn)足實(shí)際需求，對(duì)曲梁的研究顯得尤為必要，特別是在材料科學(xué)與工程方面，顯得尤為必要。本文通過(guò)研究國(guó)內(nèi)外對(duì)曲梁的研究，并結(jié)合曲梁力學(xué)模型的理論研究，對(duì)剛度矩陣在曲梁的分析進(jìn)行了探討。

關(guān)鍵詞:曲梁;梁平衡;剛度矩陣;有限單元法

在無(wú)載荷的條件下，具有平面曲線(xiàn)軸的梁，通常稱(chēng)為曲梁。現(xiàn)代結(jié)構(gòu)工程中，尤其是在橋梁工程中，曲梁的應(yīng)用非常廣泛，在船舶工程和航天工業(yè)中也有著廣泛的應(yīng)用。曲線(xiàn)梁樣式多樣，如連續(xù)曲梁、薄壁開(kāi)口曲梁、復(fù)合曲梁、多曲梁等。根據(jù)線(xiàn)性分為變曲率曲梁、圓弧和直線(xiàn)的組合曲梁等;按截面形式分為I型、槽型等。從外觀上來(lái)說(shuō)，曲線(xiàn)梁橋造型獨(dú)特，和周?chē)沫h(huán)境，可以帶來(lái)美的視覺(jué)上的享受，滿(mǎn)足人們的審美要求;從結(jié)構(gòu)上來(lái)說(shuō)、曲線(xiàn)梁橋能很好地適應(yīng)地形、地物的限制要求，使交通規(guī)劃更加科學(xué)合理，具有更好的承載能力。近年來(lái)，隨著科學(xué)技術(shù)的不斷進(jìn)步，特別是材料科學(xué)方面的進(jìn)步，復(fù)合材料的大量出現(xiàn)，使得曲梁的應(yīng)用空間得到了極大的擴(kuò)展。同時(shí)，隨著交通和城市建設(shè)的進(jìn)一步發(fā)展，高等級(jí)公路、鐵路和城市立交樞紐的曲線(xiàn)橋逐漸增多。曲線(xiàn)梁的分析方法也受到國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者的關(guān)注。然而，由于曲梁原有曲率的存在，使得曲梁的力學(xué)性能非常復(fù)雜，研究較為困難，其中曲梁的穩(wěn)定性是一個(gè)非常突出的問(wèn)題，而且曲梁的屈曲理論遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于直梁的屈曲理論。許多學(xué)者對(duì)曲梁理論進(jìn)行了研究，但結(jié)果卻不盡相同。

一、國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀

相對(duì)直梁的研究，曲梁的研究相對(duì)較晚，最早的研究可以追溯到十九世紀(jì)，S．Venant在1855和1856年用半逆解法分別求解柱體扭轉(zhuǎn)和彎曲問(wèn)題，對(duì)圓截面曲桿的扭轉(zhuǎn)理論進(jìn)行了研究。曲梁這一理論直到二十世紀(jì)50年代才開(kāi)始了更深入的研究，前蘇聯(lián)學(xué)者Vlasov［1］建立了經(jīng)典的穩(wěn)定性理論，曲梁在直梁平衡方程中，相應(yīng)的曲率被替換，得到曲梁。隨后曲梁的研究，基本上都是基于Vlasov的理論展開(kāi)的。Usami等［2］基于Vlasov的模型，基于薄壁構(gòu)件理論分析的基本假定，推導(dǎo)出曲梁的翹曲位移的近似表達(dá)式，并用于拱穩(wěn)定問(wèn)題的理論研究。國(guó)內(nèi)曲梁比較系統(tǒng)的研究始于上世紀(jì)80年代，由臺(tái)灣學(xué)者Yang等人［3］從薄壁構(gòu)件理論的基本假設(shè)出發(fā)，對(duì)雙軸的對(duì)稱(chēng)的工字型曲梁，進(jìn)行了細(xì)致分類(lèi)，并建立了曲梁穩(wěn)定分析的基本方程。近幾年，對(duì)曲梁的研究主要是在剛度矩陣上和通過(guò)有限元進(jìn)行分析曲梁應(yīng)力應(yīng)變方面，其中劉鐵等人［4］針對(duì)平面內(nèi)變形的微圓段進(jìn)行研究，給出了等曲梁梁的單元?jiǎng)偠染仃嚕员銓?duì)含曲梁梁的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析。而在此之前宋郁民等人［5］基于矩陣求逆理論，提出矩陣求逆的綜合法。他們的研究意義，在于實(shí)現(xiàn)了曲梁的分析的公式化，使得對(duì)對(duì)曲梁分析采用有限元分析成為了可能。有限元法［6］是一種高效而常用的數(shù)值計(jì)算方法。在科學(xué)計(jì)算領(lǐng)域中，許多微分方程的解析解通常很難獲得，我們經(jīng)常需要解決各種微分方程．在離散微分方程的有限元方法，可以編寫(xiě)程序，用計(jì)算機(jī)解決他們。有限元法是在變分原理的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，在拉普拉斯方程和泊松方程描述的各種物理場(chǎng)中得到了廣泛的應(yīng)用。特別是隨著高性能計(jì)算機(jī)的逐漸普及，曲梁的力學(xué)分析模型特別是定性分析和剛性矩陣的研究對(duì)快速分析曲梁受力情況、潛在破裂位置等有明顯的幫助。

二、曲梁的理論研究

(一)基于張量理論，建立曲梁的幾何方程和平衡方程彈性力學(xué)中的應(yīng)力和體力可以用張量理論表示，即可以用坐標(biāo)系的平衡微分方程表示σij，j+f=0，σij，j表示應(yīng)力對(duì)相應(yīng)坐標(biāo)的變微分，f代表體力總和。這里使用張量理論的原因在于它可以滿(mǎn)足一切物理定律必須與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)的特性。空間雙曲率的平衡方程也需要軸向邊界條件，可以得到初始形狀下的平衡微分方程。為了研究空間雙曲梁的幾何方程，需要同時(shí)對(duì)梁截面進(jìn)行幾何描述。一是確定曲梁軸線(xiàn)坐標(biāo)系與軸線(xiàn)中心坐標(biāo)系的關(guān)系，以及主軸中心、中性軸與曲梁半徑的關(guān)系。同時(shí)，根據(jù)Frenet-Serret公式，得到了曲梁的變形幾何方程，包括曲梁角方程、角位移方程和應(yīng)變-位移方程。

(二)曲梁形變的幾何方程和平衡方程，以及在曲梁中的應(yīng)用空間雙曲率梁的平衡微分方程和變形幾何方程含有雙曲率平面內(nèi)曲率和平面外撓率。曲率、撓率兩個(gè)變量影響曲梁的特性。當(dāng)曲梁是恒定的，即平面曲梁描述的幾何梁弧部分。因?yàn)橛幸粋€(gè)雙曲率變?yōu)榱悖硪粋€(gè)是不變的，所以任何曲線(xiàn)空間可以簡(jiǎn)化成平面圓弧。平面梁彎曲變形幾何方程的平衡微分方程比較空間梁和雙曲率變形方程的平衡方程，將大大簡(jiǎn)化，簡(jiǎn)化后的方程可以作為組合平衡方程和梁的曲率方程的有限元方程的基本單元可以形成新的變曲率。

(三)曲梁的簡(jiǎn)化剛度矩陣三、結(jié)論通過(guò)對(duì)曲梁的平衡狀態(tài)分析，實(shí)現(xiàn)了對(duì)曲梁的力學(xué)模型的構(gòu)建，這對(duì)進(jìn)一步認(rèn)識(shí)曲梁的力學(xué)性能起到了重要作用。通過(guò)曲梁的力學(xué)理論和平衡關(guān)系，構(gòu)建了曲梁的平衡方程和幾何方程，通過(guò)矩陣變化和逆矩陣變化簡(jiǎn)化得到了曲率梁的剛度矩陣，結(jié)合前人的研究［7］，簡(jiǎn)單曲梁?jiǎn)卧勺鳛閺?fù)雜結(jié)構(gòu)梁彎曲空間梁的有限元分析，該方法可更方便的應(yīng)用于計(jì)算模型和計(jì)算軟件，方便用于應(yīng)力和應(yīng)變分析，進(jìn)而更直觀、更數(shù)字化的理解曲梁的應(yīng)力狀態(tài)。

作者：孫皆宜 單位：唐山學(xué)院