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《圖學學報》2016年第二期

摘要：

四心圓法是用四段圓弧拼接成近似橢圓。由于其對稱性，取圖形的1/4為研究對象，利用二分法求解方程組，得出兩段圓弧拼接點坐標值；分別用兩段圓弧的極徑和實際橢圓中相應的極徑進行長度誤差分析，列出兩段圓弧與橢圓極坐標方程，使用牛頓迭代法，求出圓弧與實際橢圓的極徑長度最大誤差值；計算出近似橢圓與實際橢圓面積，求出面積誤差值。在編程軟件中，根據所得數學模型編制計算器，計算結果列表對比分析，得出四心圓法作近似橢圓的誤差結論。

關鍵詞：

橢圓；牛頓迭代法；計算器；誤差分析

現實生活中，使用直尺和圓規手工作圖，不可能畫出精確的橢圓。用若干段圓弧拼接成近似橢圓是一個自然的想法，橢圓的近似畫法在數學(制圖)、天文(軌道分析)、藝術和建筑(如石拱門)設計中曾有廣泛應用[1]。使用四心圓法畫近似橢圓是常見的方法，簡化了橢圓的畫法，易于通過尺規作圖實現，但能否準確地代替橢圓，在此還需對四心圓法作橢圓進行誤差分析。

1四心圓法作橢圓

橢圓有兩條相互垂直且對稱的軸，即長軸和短軸，當長軸和短軸為已知時，用四心圓法畫橢圓，其步驟[2]如下：(1)畫出相互垂直且平分的長軸AB與短軸CD；(2)連接AC，并在AC上取CE=OA-OC，如圖1(a)所示；(3)作AE的中垂線，與長、短軸分別交于O2、O3，再作對稱點O1、O4，如圖1(b)所示；(4)以O1、O2、O3、O4各點為圓心，O2C、O4D、O3A、O1B為半徑分別畫弧，即得近似橢圓，如圖1(c)所示。

2數學模型

王國順和唐立波[3]介紹了圓弧擬合橢圓的誤差分析沒有精確理論解析。利用圖形學理論，研究極徑誤差大小來分析圓弧與實際橢圓的近似程度，由于橢圓是對稱圖形，在研究其近似畫法極徑長度誤差時，只研究圖形的1/4即可，取第一象限圖像為研究對象，并建立坐標系，如圖2所示。由上式可知極徑長度誤差e是分段函數，大圓弧與小圓弧拼接點K是其分段點，所以需求解出K點坐標值，進而求得極角值，對兩段函數分別進行討論計算，進而才能求得e的最大值。欲求點K坐標值，需確定圓O1與圓O2的位置關系。圓與圓位置關系有5種，即相離、相切、相交、內切和內含，判斷兩圓的位置關系的步驟及其判斷方法：①計算兩圓的半徑R，r；②計算兩圓的圓心距O1O2，即d；③根據d與R，r之間的關系判斷兩圓的位置關系。

3計算器

編程是為了借助計算機來達到某一目的或解決某個問題，而使用某種程序設計語言編寫程序代碼，并最終得到結果。隨著計算機技術的發展和普及，數值分析的原理與方法在各學科中的應用越來越多，根據數學模型提出求解的計算方法，直到編出程序上機算出結果，并對計算結果進行分析。根據推導出的數學模型，在編程軟件中編寫程序，生成橢圓近似畫法誤差計算器，如圖3所示。圖3計算器輸入橢圓長半軸和短半軸長參數，點擊計算按鈕，則輸出結果。以a=25，b=12為例，計算結果如圖4所示，通過46次迭代計算，大圓弧與小圓弧接點的極角=19.883°，當極角θ=16.388°時，橢圓近似畫法與實際橢圓的極徑長度誤差值最大，最大誤差值為2.586%，實際橢圓面積S1=942.478，近似橢圓面積S2=948.629，面積誤差為0.653%。多次輸入，可以點擊重置按鈕，文本框清除，可以重新輸入。計算器的退出，有2種方法選擇：①點擊退出按鈕；②點擊界面的退出按鈕，也可退出。

4結論

在計算器中，輸入不同a，b值，經計算輸出結果，見表1。由表1可得如下結論：(1)S2>S1，說明近似橢圓比實際橢圓面積大，近似橢圓比實際橢圓更飽滿。(2)>θ，說明極徑最大偏差值永遠發生在小圓弧段內，近似橢圓在大圓弧段內和實際橢圓擬合得較好。(3)橢圓長半軸長a與短半軸長b越接近，即a/b值越接近1，極徑長度誤差越小，近似橢圓與實際橢圓擬合的越好。

參考文獻

[1]曾振柄,陳良育,李志斌,等.偏差最小的四心圓近似橢圓作圖法[J].圖學學報,2013,34(1):9-10.

[2]王幼龍.機械制圖[M].北京:高等教育出版社,2007:29.

[3]王國順,唐立波.八心圓弧擬合橢圓誤差的理論解析及最優解[J].圖學學報,2014,35(5):697-703.

[4]張鐵,閆家斌.數值分析[M].北京:冶金工業出版社,2005:78-79.

[5]同濟大學數學系.高等數學[M].北京:高等教育出版社,2014:86-88.

[6]李慶揚,王能超,易大義.數值分析[M].北京:清華大學出版社,2001:276-277.

作者：周亞輝 單位：遼寧軌道交通職業學院