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0引言

貝葉斯統計方法是一種以貝葉斯公式為核心，以先驗信息和后驗信息為綜合依據，以“辯證”推斷為主要特征的統計方法。與經典的統計歸納推理方法相比,它采用了一種全新的思維范式，將不確定參數看作隨機變量，并以貝葉斯理論（BayesTheory）為基礎，將獲取數據前人們的主觀信念作為先驗信息與樣本信息進行綜合，再根據貝葉斯定理推導出參數的后驗概率分布，最后以該后驗分布為基礎,利用模擬方法進行參數的統計推斷。

1貝葉斯基本統計理論

就基本統計理論而言，貝葉斯統計學與經典統計學存在著重大的差異，其中最主要的特征可以概括為以下三個方面：

1.1“主觀”概率在經典頻率統計學中，概率通常被定義為：在同一條件下進行多次重復實驗的基礎上對事件出現可能性的一種測度，是一種基于數據的“客觀”的概率。然而，在貝葉斯統計學中，概率被看作是人們對于一個不確定事件真實度的相信程度或者信念，不依賴事件能否重復，是一種“主觀”概率。貝葉斯學派認為頻率解釋的概率只能應用于在一定時期內可以重復地、無限次地出現的事件，至少在理論上應該如此，然而事實上，一些事件的概率通過大量重復試驗獲得是不現實的，很多時候人們都是根據已有的知識和邏輯推理能力來對統計問題作出判斷的。

1.2先驗信息對于“客觀“概率的經典頻率統計學而言，統計推斷一般只需要兩方面的信息：—是模型信息，即已知（或假定）研究對象（數量特征）形成的總體服從某種概率分布，如正態分布等等。二是數據信息，即通過試驗或者調查獲得的相關樣本數據信息。所有統計推斷都僅依賴于這些“客觀”樣本數據來完成。然而，貝葉斯統計學除了以上兩種信息外，還利用另外一種信息，那就是先驗信息。基于“主觀“概率的貝葉斯統計學認為在進行試驗或者調查獲取相關數據前，人們往往已經從理論分析、實踐經驗積累以及主觀判斷，長期積累了許多資料和信息，這些先驗信息使得人們在沒有數據的情況下仍然能對不確定事件給出一定的信度評價。如果能夠利用這些信息，并與觀察數據有機結合起來無疑能幫助提高統計推斷的質量，特別是在可獲數據較少的情況下，先驗信息的作用更為明顯。

1.3未知參數的隨機性在經典統計學派看來，總體中的待估參數是一個普通的未知變量，其值是一個固定不變的常數。為了對這個未知參數進行推斷，往往需要從總體中進行大量重復的抽樣，被抽取的樣本被看成是來自服從一定概率分布（如正態分布）總體的隨機變量。因此，經典統計實際上是利用了所有可能的隨機樣本信息，來實現對某個參數的無偏估計。相反，貝葉斯統計學將任何一個未知參數都看作是隨機變量，都具有不確定性，并且可以通過一個概率分布來描述。在獲取數據之前可以根據經驗或歷史資料構建該參數的先驗分布，在獲得樣本數據之后，可以利用樣本數據對先驗分布修正獲得該參數的后驗分布。因此，貝葉斯統計所研究的并不是樣本空間，而是參數的取值規律，其利用的是已固定的一組樣本信息，而非所有可能的隨機樣本。

2貝葉斯統計推斷方法

參數估計與假設檢驗構成統計推斷的兩大基本內容，貝葉斯統計學在這兩個方面形成了與頻率統計學相平行的理論方法，并賦予統計推斷以新的解釋。

2.1點估計就點估計而言，經典統計學通常要求，作為總體參數的一個優良估計必須具備無偏性，即如果用θ贊表示總體參數θ的優良估計值，那么θ贊必須具備E（θ贊）=θ的性質，也就是從總體N個單位中按隨機性原則抽取n個單位組成樣本，如果對每一個樣本都計算一次θ贊的值，那么共CnN個θ贊值的期望均值應該等于θ。然而，在實際應用中，人們往往只能根據一次抽樣觀察做出估計，顯然就不可回避這樣的問題，在一次抽樣觀察中用θ贊去估計θ，其優良性如何去評估呢？對此，按照經典統計學的理論是不好給出確切說明的。然而，貝葉斯統計推斷采用損失函數作為選取最佳估計值的評價標準。它認為最佳估計值的選取依賴于用θ贊來估計參數真值θ時所造成的損失，一般用損失函數L（θ贊，θ）來表示，若要獲得最佳估計值，就必須使在θ所有可能值上的后驗加權平均(或期望)損失最小，即Eθ（/yθ/y，[L（θ贊，θ）]）=乙L（θ贊，θ）π（θ/y）墜θ達到最小。如果采用二次損失函數L1=c（θ贊，θ）2，那么后驗期望損失就變為：Eθ（/yθ/y，[L（1θ贊，θ）]）=乙c（θ贊，θ）2π（θ/y）墜θ對上式求導，得ddθ贊=2乙c（θ贊-θ）π（θ/y）墜θ，令上式為0，即可獲得θ的最佳點估計值實際上就是后驗密度的均值(期望)：θ贊=E（θ）=乙θπ（θ/y）墜θ。由此可見，在貝葉斯點估計時，參數估計的優良性可以通過期望后驗損失最小來反映，而且后驗分布是僅依賴于一次抽樣觀察做出的，因此無論抽樣是否可以重復，都可以對某一次抽樣觀察給出最優估計值。

2.2區間估計對于區間估計而言，在經典統計學中，通常假設對于給定值α（0<α<1），如果由來自總體分布F（y，θ）的隨機樣本y1，y2，…yn確定的兩個統計量θ=θ（y1，y2，…yn）和θ=θ（y1，y2，…yn）滿足：P{θ=θ（y1，y2，…yn）<θ<θ=θ（y1，y2，…yn）}叟1-α，那么就將隨機區間（θ，θ）稱作為θ的置信水平為1-α的置信區間。然而這里出現了一個問題就是，由于在經典統計學中，總體參數被視為是一個固定不變的常數，因此并不能認為參數θ落在置信區間（θ，θ）中的概率為1-α，只能認為，在n次抽樣中，有（1-α）CnN次求出的置信區間能夠覆蓋到總體參數μ，另外αCnN次無法覆蓋。因而這種解釋，對于僅進行一次抽樣或者試驗的人來說，其實是毫無意義的。相反，在貝葉斯統計學中，總體參數θ被看做是一個服從一定概率分布的隨機變量，因此，一旦獲得θ的后驗分布π（θ/y），就可得到θ落入某個區間內的后驗概率，例如P{a燮0燮b/y}=ba乙π（θ/y）＝1-α，它表示參數θ落入區間[a，b]的概率為1-α。當然，這里的a和b并不唯一（單峰型的密度函數中是唯一的），在貝葉斯區間估計時，通常選用最大后驗密度（HPD）作為總體參數θ的貝葉斯可信區間，以保證這個可信區間內的每點的后驗密度函數值都大于區間以外點的密度函數值。由此可見，在置信區間的解釋和處理上，較經典統計而言，貝葉斯統計含意更為清晰明了，并且在置信區間的尋求和計算上也簡單得多。

2.3假設檢驗對于假設檢驗問題，經典統計學運用的是反證思想進行推斷。即認定在一次實驗中，小概率事件不會發生的前提下，如果觀察到的事件，是H0為真時不合理的小概率事件，則拒絕原假設H0。具體可表示為如果α代表小概率，那么在原假設H0為真的條件下，若樣本y發生的概率P（y/H0）<α，則說明是小概率事件，原假設H0為假。與之不同的是，貝葉斯統計學直接討論H0和H1的后驗概率，通過比較后驗概率的大小進行判斷。如果P（H0/y）和P（H1/y）分別為兩個假設事件的后驗概率，那么當P（H0/y）<P（H1/y）時，則拒絕原假設H0，反之則接受。事實上，上述兩種推斷方法在一定程度上統一于貝葉斯公式。由貝葉斯公式容易得到：P（H0/y）P（H1/y）=P（H0）•P（y/H0）P（H1）•P（y/H1）。

因此，當P（H0）=P（H1），即H0與H1居于平等地位時，經典學派與貝葉斯學派的結果是一致的。然而，在進行假設檢驗的時候，原假設和備擇假設的提法一般是有講究的，它要求把帶有傾向性的意見當作備擇假設，而把與備擇假設相對立的假設作為原假設。因此，H0常居于將被否定的位置，由于這種傾向性意見的存在，經典統計推斷的結果很容易受到原假設和備擇假設的位置的影響，當兩種假設的位置互換后，其推斷結果很可能不同。但對于貝葉斯統計推斷而言，由于是基于各個假設的后驗概率進行判斷，因此其推斷結果并不受到兩者位置的影響。此外，經典統計學中的假設檢驗也存在如同參數估計解釋那樣的問題。如果在給定的顯著水平α下，根據經典統計學的解釋是，在可能的CnN個樣本中，共做CnN次假設檢驗，其中平均有αCnN次否定了原假設，而（1-α）CnN次沒有拒絕原假設，因此，同樣沒有直接回答原假設成不成立的問題。而貝葉斯假設檢驗不要求接受或是拒絕某個假設，因為后驗機會比就足以說明問題。貝葉斯統計在檢驗問題中的另外一個優勢在于多重檢驗問題，是經典統計所辦不到的。例如將假設設為：H0∶θ＝0；H1∶θ>0；H2∶θ<0。貝葉斯統計中只需分別計算H0、H1和H2的后驗概率來做出推斷，而經典統計方法則很難去處理此類問題。

3結論與展望

由上所述，貝葉斯統計學能夠不斷發展壯大的原因在于，在很多方面它比經典統計有明顯的優勢。然而，貝葉斯統計學賴以與經典統計學叫板的地方，恰恰是其受到質疑的地方。貝葉斯學派受到的批評集中于兩個方面：一是，將參數看成是隨機變量是否妥當；二是，參數的先驗分布的主觀問題。其實在許多情況下，如果不考慮其中涉及到的統計思想和概率理論基礎，用貝葉斯統計方法導出來的結果與經典統計學幾乎沒有二致。貝葉斯統計學與經典統計學不存在誰要取代誰的問題，解決二者之間爭論的最好辦法，恐怕還要著眼于相互取長補短，一切以能得到良好的統計推斷為根本目的。