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《大連理工大學(xué)學(xué)報(bào)》2016年第三期

摘要：

提出了一種基于小波包分解和重構(gòu)的模擬非平穩(wěn)地震動(dòng)并擬合設(shè)計(jì)譜的方法．該方法模擬出工程用地震動(dòng)并調(diào)整頻率分量，使其以一定的精度擬合設(shè)計(jì)譜．首先，利用5個(gè)參數(shù)生成了構(gòu)成地震動(dòng)加速度時(shí)程的小波包系數(shù)矩陣，并通過(guò)小波包重構(gòu)獲得加速度時(shí)程，該系數(shù)矩陣模擬了實(shí)際地震記錄中頻率隨持時(shí)逐漸減小的特點(diǎn)．其次，將模擬的地震動(dòng)利用小波包分解方法分解為具有高分辨率非重疊的小波包系數(shù)矩陣，然后根據(jù)設(shè)計(jì)譜調(diào)整頻率分量．?dāng)?shù)值算例表明，該方法模擬的不同持時(shí)的加速度時(shí)程均能吻合同一設(shè)計(jì)譜，且迭代后仍然能保留地震動(dòng)的非平穩(wěn)特性．另外，該方法具有較穩(wěn)定和較快的收斂過(guò)程，能在有限次調(diào)整迭代中實(shí)現(xiàn)較高的擬合精度．

關(guān)鍵詞：

地震動(dòng)模擬；譜兼容加速度時(shí)程；小波包；非平穩(wěn)時(shí)程

在工程抗震設(shè)計(jì)中，反應(yīng)譜技術(shù)自提出以來(lái)，一直是抗震設(shè)計(jì)規(guī)范中的重要內(nèi)容之一［1－3］．而隨著設(shè)計(jì)方法和計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，人們已經(jīng)不再滿足于抗震設(shè)計(jì)的反應(yīng)譜靜力分析方法，而開始考慮全部地震過(guò)程，尤其對(duì)于重要工程結(jié)構(gòu)，如核電站、大壩、大型儲(chǔ)物裝置、大跨橋梁、超高層建筑等．輸入結(jié)構(gòu)的地震動(dòng)時(shí)程的反應(yīng)譜必須在一定精度下與設(shè)計(jì)加速度反應(yīng)譜（以下簡(jiǎn)稱設(shè)計(jì)譜）相擬合，也就是所謂的譜兼容時(shí)程，通常情況下，擬合方法是對(duì)實(shí)際強(qiáng)震記錄做修正，讓其滿足設(shè)計(jì)譜．然而，由于強(qiáng)震記錄的數(shù)量有限且分布不均勻，不能滿足多方面要求，地震動(dòng)的模擬越來(lái)越受到重視．一條加速度時(shí)程的反應(yīng)譜是唯一的且是很容易計(jì)算的，但是由給定的設(shè)計(jì)譜來(lái)尋求加速度時(shí)程這一反問(wèn)題求解卻是非常困難的．在過(guò)去的三十多年里，許多學(xué)者對(duì)此問(wèn)題給出了不同的解法．Scanlan等在1974年提出了著名的三角級(jí)數(shù)模型來(lái)模擬具有給定功率譜的地震動(dòng)加速度時(shí)程［4］，這一方法也是工程上應(yīng)用最廣泛的方法之一．隨后，就開啟了利用傅里葉譜幅值和相位迭代的研究思路．

傅里葉變換是非常直接的反應(yīng)譜擬合方法，多數(shù)學(xué)者把重點(diǎn)放在了時(shí)域幅值非平穩(wěn)的模擬上［5－7］．然而該方法存在著局限性：一是沒(méi)有很好的收斂特性；二是如果傅里葉譜修正得過(guò)多，則加速度時(shí)程的非平穩(wěn)特性將發(fā)生較大的改變．之后，演化功率譜方法［8－9］被提出來(lái)反映模擬地震動(dòng)的頻率特性，該方法假定相位和相位差遵循一定的概率分布．從此，頻率非平穩(wěn)性的模擬受到了學(xué)者的重視．Mukherjee等［10］基于小波變換提出了一種直接對(duì)實(shí)際記錄進(jìn)行頻率修正來(lái)擬合設(shè)計(jì)譜的方法，從而可以保留實(shí)際記錄的大部分頻率特性．但該方法精度不高且沒(méi)有給出擬合精度的分析結(jié)果．其他方法，如基于諧小波的方法［11］和希爾伯特黃變換法［12］也在保留地震動(dòng)的瞬時(shí)頻率方面取得了較為理想的效果．國(guó)內(nèi)對(duì)反應(yīng)譜擬合技術(shù)的研究多采用基于相位譜和相位差譜的方法［13－16］．隨后，趙鳳新等提出了多阻尼反應(yīng)譜擬合的時(shí)域疊加法［17］并引入到小波變換中［18］，其在精度上取得了較好的效果．本文提出一種基于小波包變換的反應(yīng)譜擬合方法，首先模擬具有時(shí)間和頻率非平穩(wěn)性的地震動(dòng)；然后采用小波包分解的方法將地震動(dòng)加速度時(shí)程分解為有限頻率段；最后根據(jù)設(shè)計(jì)譜，對(duì)各個(gè)頻率段進(jìn)行調(diào)整并迭代，從而達(dá)到較高的擬合精度．通過(guò)對(duì)一個(gè)核電站的設(shè)計(jì)譜進(jìn)行擬合，分別得到兩條不同的地震動(dòng)加速度時(shí)程，并且討論該方法的精度．

1基本原理

小波方法同時(shí)在時(shí)間域和頻域?qū)π盘?hào)做分解，從而將頻譜在時(shí)間軸上展開．小波包是小波方法的延伸，它不僅對(duì)低頻部分做分解，同時(shí)也對(duì)高頻部分繼續(xù)分解，提高了頻率的分辨率．

1．1小波包分解信號(hào)的時(shí)間和頻率關(guān)系叫時(shí)頻圖，能夠表征信號(hào)這一關(guān)系的方法有很多，如短時(shí)傅里葉變換、離散與連續(xù)小波變換、小波包變換和偽韋格納分布．然而地震動(dòng)模擬不僅需要對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解，同時(shí)需要能夠方便、完整地逆變換回時(shí)域，小波包分解與重構(gòu)即符合這一要求．

1．2地震動(dòng)模擬從式（2）可以看出，如果得到了小波包系數(shù)矩陣，就可以模擬出一條地震動(dòng)時(shí)程．而如果該小波包系數(shù)矩陣擁有與實(shí)際記錄相似的特征，則通過(guò)小波包重構(gòu)得到的模擬時(shí)程同樣和實(shí)際記錄相似．本文首先通過(guò)對(duì)一條高斯白噪聲進(jìn)行窗口化，來(lái)模擬地震動(dòng)的時(shí)域非平穩(wěn)性．所用的Saragoni窗函數(shù)［19］表達(dá)如下。然后，對(duì)窗口化的高斯白噪聲做小波包分解．這里采用的模擬時(shí)間間隔為0．005s，分解層數(shù)j為9，所以分解后的小波包系數(shù)頻率分辨率為0．1953Hz，時(shí)間分辨率為2．5600s．此時(shí)小波包系數(shù)在時(shí)頻圖的頻率帶上是均勻分布的，需要對(duì)每一列系數(shù)做修正．圖3（a）展示了美國(guó)1992年BigBear地震中SealBeach－OfficeBldg臺(tái)站記錄到的一條加速度時(shí)程的時(shí)頻圖，可以看出其頻率在時(shí)域上是不斷變化的．在地震波開始階段，主要包含了高頻分量，隨著時(shí)間的進(jìn)行和地震動(dòng)幅值的減弱，頻率逐漸衰減．從圖1也可以看出該特性．通過(guò)對(duì)大量強(qiáng)震記錄的分析，發(fā)現(xiàn)大多數(shù)地震動(dòng)均存在該現(xiàn)象．因此，在對(duì)每一列小波包系數(shù)進(jìn)行調(diào)整時(shí)，本文采用了不同的歸一化函數(shù)．這里采用對(duì)數(shù)正態(tài)分布密度函數(shù)作為基準(zhǔn)函數(shù)。

1．3設(shè)計(jì)譜擬合當(dāng)?shù)玫侥M時(shí)程x（t）后，重新將其進(jìn)行小波包分解．該步中，分解層數(shù)j增加到12層，這樣頻率分辨率將增大到0．0244Hz，從而保證了反應(yīng)譜在2～4s周期上的分辨率．分解后得到的小波包系數(shù)矩陣c具有2j個(gè)行向量，每個(gè)行向量cij代表了對(duì)應(yīng)頻率下的能量。

2擬合實(shí)例

在實(shí)際的設(shè)計(jì)地震動(dòng)模擬和擬合中，通常要求地震動(dòng)的反應(yīng)譜包絡(luò)設(shè)計(jì)譜．以核電站設(shè)計(jì)為例［1－2］，在所有控制周期（T）點(diǎn)中，模擬地震動(dòng)反應(yīng)譜低于設(shè)計(jì)譜的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)5個(gè)，并且模擬反應(yīng)譜與設(shè)計(jì)譜之間的相對(duì)誤差應(yīng)控制在10％以內(nèi)．根據(jù)上述要求，本章在周期0．03～4．00s范圍內(nèi)選取了76個(gè)周期控制點(diǎn)，且設(shè)計(jì)譜的峰值設(shè)置為1g．在該例中，針對(duì)設(shè)計(jì)譜模擬了兩種不同持時(shí)的地震動(dòng)加速度時(shí)程，即x1（t）和x2（t）．圖4顯示了迭代后的加速度時(shí)程x1（t）和x2（t）以及相應(yīng)的速度和位移時(shí)程．可以看出，加速度時(shí)程包含了時(shí)間和頻率的非平穩(wěn)性．x2（t）在整個(gè)持時(shí)前半程具有相對(duì)較高的頻率，而在后半程頻率逐漸降低．由于兩個(gè)時(shí)程均吻合設(shè)計(jì)譜，其速度與位移時(shí)程也具有相似性．圖5顯示了模擬地震動(dòng)時(shí)程的反應(yīng)譜（PSA）對(duì)設(shè)計(jì)譜的擬合情況．可以看出，模擬時(shí)程的反應(yīng)譜較好地包絡(luò)了設(shè)計(jì)譜，與設(shè)計(jì)譜非常接近．由于設(shè)定開始迭代的條件為初始模擬出的地震動(dòng)的反應(yīng)譜在各個(gè)周期上與設(shè)計(jì)譜誤差在一定范圍內(nèi)，圖中兩個(gè)時(shí)程迭代前，其反應(yīng)譜已經(jīng)接近設(shè)計(jì)譜，這是通過(guò)設(shè)定合理的μwm和σwm來(lái)達(dá)到的．另外，通過(guò)將設(shè)計(jì)譜譜值增大一定比例的方法，就能達(dá)到規(guī)范中模擬反應(yīng)譜低于設(shè)計(jì)譜點(diǎn)數(shù)不大于5的要求．

3結(jié)語(yǔ)

本文基于小波包方法提出了一種新的模擬非平穩(wěn)地震動(dòng)且擬合設(shè)計(jì)譜的方法．該方法首先通過(guò)模擬小波包系數(shù)矩陣來(lái)生成地震動(dòng)，然后根據(jù)設(shè)計(jì)譜來(lái)調(diào)整小波包系數(shù)，用迭代的方法達(dá)到模擬地震動(dòng)的反應(yīng)譜吻合設(shè)計(jì)譜的目的．本文提出的方法具有以下特點(diǎn)：（1）本文所模擬的地震動(dòng)具有實(shí)際地震記錄的特點(diǎn)，即具有時(shí)間和頻率非平穩(wěn)性．（2）模擬地震動(dòng)的過(guò)程簡(jiǎn)單實(shí)用，通過(guò)指定5個(gè)參數(shù)———Td、θ、τ、μwm和σwm，可以模擬出工程需要的地震動(dòng)．（3）該方法同時(shí)包含了隨機(jī)性和確定性兩方面．隨機(jī)性表現(xiàn)在每次迭代失敗時(shí)將重新隨機(jī)產(chǎn)生高斯白噪聲；確定性表現(xiàn)在5個(gè)初始設(shè)定的參數(shù)，將限制模擬出的地震動(dòng)在有限的范圍內(nèi)變動(dòng)．（4）該方法收斂過(guò)程較快，且比較穩(wěn)定，擬合設(shè)計(jì)譜相對(duì)誤差較小．

作者：李亞楠 王國(guó)新 單位：西北工業(yè)大學(xué)航海學(xué)院