前言：我們精心挑選了數篇優質數學中的分析法文章，供您閱讀參考。期待這些文章能為您帶來啟發，助您在寫作的道路上更上一層樓。

第1篇

摘要：科技迅速發展，國力日益增強，社會對于人才的要求也越來越高。為開創新型教學模式，培養高技術、高素質、高水平人才，提升教學質量，文章提出了案例分析法，并從案例分析法的重要性、實例分析和注意事項三個方面對其進行了介紹。

關鍵詞：高等數學；案例分析法；重要性

高等數學是大學生必修的一門基礎課程，是學生學習概率、物理等科目的基礎。高等數學不僅有助于提高學生的邏輯思維能力，而且對培養學生成為有思想、有品德、有技術的綜合性應用型人才也具有重要作用。

一、案例分析法引入高等數學教學中的重要性

在高等數學教學中，可以把生活實例引入到教學范圍當中，根據要講述的內容，分析、研究和討論所引例子，最終得出相關的定理或概念，使學生在學習過程中更加輕松、舒服。引入案例分析法可以使高等數學教學發生好的變化：第一，案例分析法可以激發學生的學習興趣性，可以將抽象的、難以理解的數學理論知識形象化，使學生深刻領悟到數學理論中蘊含的真理，從而在生活中更好地對其進行應用。第二，案例分析法可以給學生創造一種與眾不同的學習環境，使學生通過主動思考和分析案例，找出和發現問題，從而有效鍛煉學生分析和解決問題的能力。第三，案例分析法使高等數學教學更貼近于實際生活，讓學生感受到數學在實際中的廣泛應用。綜上所述，將案例分析法引入高等數學教學當中，不但能夠激發學生的學習興趣，促進學生學習的主動性，而且可以使學生的思維得以開發，思路得以拓展。

二、高等數學教學中案例分析法的運用

在高等數學教學中，當講授一階線性差分方程時，教師可以插入下面的例子：在社會經濟快速發展中，社會保障體系也在不斷完善，人類的生存環境也在發生變化。隨著人類生活水平的提高，對于物質條件的需要也越來越多，比如，對于樓房和汽車的需求。當然，這種需求并不是人人都能獲得的，那么他們想要享受生活，需要怎樣呢？當代人有了新的生活觀，認為任何事物都可以通過銀行貸款來獲取，當然，我們不能總是無限制地透支以后的生活，要想持續過著幸福美滿的生活，就要采取相應的措施———合理理財、合理消費。比如，設現在擁有的貸款本金為y0元，需要貸款的時間為2年，年利率設定為a，那么計算一下，我們每個月還必須償還的貸款是多少？假設每個月必須償還貸款金額是A（月等額還款情況），那么第x個月需要還銀行貸款為yx，如此得到一階線性方程為：yx=yx-1（1+a/12）-A，y24=0，將y0代入方程中求出y1，然后將y1再代入方程求出y2，以此類推即可得出yx=（1+a/12）x（y0-C）+C，其中C=A/（a/12），這就是我們每個月需要償還銀行的貸款金額。所以，要想一直擁有美好生活，必須要合理理財。簡單的日常生活舉例，更能吸引學生的注意力，增強課堂氛圍，更能使學生深入地理解什么是一階線性方程，該方程應該怎樣得出，如何求解，以及方程的實際應用，從而也讓學生認識到了數學知識的無處不在。

三、高等數學教學中使用案例分析法應注意的問題

（一）案例選擇盡量與專業相符

高等院校的數學教師一般需要給不同專業的學生授課，不同專業的學生對于概念理解的程度不同，所以教師可以結合學生所學專業的不同，有針對性地引入案例。比如，在介紹導數含義時，可以在機械類工科學生授課中結合變速圓周運動的角速度、非恒定電流的電流強度等變化率問題；針對管理類文科學生，可以引入邊際成本的理論；針對農業科學專業學生，可以在授課中結合細胞的繁殖速度、邊際產量等問題。這種有針對性的插入案例，不但能體現數學理論存在的多樣性，而且能讓學生更好地了解數學，拓展學生的思維，培養學生的綜合素質。

（二）應結合多媒體進行授課

多媒體教學本身就具有極強的吸引力，如果加入形象生動的案例，則更能激發學生的學習興趣，讓學生更容易接受數學。此外，對于教師，多媒體授課不但能節省教學時間，而且還能節省其教學精力，因此，將案例分析應用于多媒體當中，更便于學生分析和理解相關知識。

（三）課堂教學中要多提問

數學課堂教學就是要善于提出問題，給學生思考的機會，培養學生分析和解決問題的能力。同樣，案例的引入更要提出問題，然后進行教學內容的介紹，讓學生跟隨教師的思路，直到本節課的結束。這樣不僅可以集中學生的注意力，而且還能培養學生思考、分析、解決問題的能力。

四、結語

案例分析法不但能引發學生對于數學的喜愛，從而更好地學習數學，而且還能開拓學生的思維，培養學生解決問題的能力，使學生滿足社會對相關人才的需求。由此可見，案例分析法的應用對于高等數學教學來說意義重大。

參考文獻：

[1]何娟娟.基于案例教學法的高等數學教學改革實踐[J].開封教育學院學報,2014(9):110-111.

[2]謝紹義.等額還貸的多種方式[J].數學通報,2003(4):41-42.

第2篇

關鍵詞 分析法；概念；例析

一、分析法的基本概念

分析法是從問題的結論出發尋求其成立的充分條件的證明方法.即先假定所求的結果是成立，分析使這個命題成立的條件，把證明這個命題轉化為判定這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么可以斷定原命題成立.我們稱之為“執果索因”。

要證明命題：“若A則D”思考時可以由結論D出發向條件A回溯，先假定所求的結論D成立，尋求D成立的原因，而后就各個原因分別研究，找出它們成立的條件，逐步進行下去，最后達到條件A，從而證明了命題.其思考路線如圖：

D？圯C？坩B？坩…？坩A

用分析法進行證明，每一步推理都是尋找充分條件，最后找到要證命題的條件。就是說，每一對相連的判斷中，后者是前者的充分條件，這樣，聯成一個邏輯鏈時，才保證了由條件A到結論D.由傳遞律得出，A是D的充分條件，從而證明了命題“若A則D”.分析法的證明中，每一步都是從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，此處的“需知”是倒推的“中途點”。

二、例析分析法

要證明命題：“若A則D”.思考時可以由結論D出發向條件A回溯.先假定所求的結論D成立，尋求D成立的原因，而后就各個原因分別研究，找出它們成立的條件，逐步進行下去，最后達到條件A，從而證明了命題.其思考路線如圖：

D？圯C？坩B？坩…？坩A

第3篇

關鍵詞：結構分析法;數學;教法;學法;運用

中圖分類號：G712 文獻標識碼：A 文章編號：1005-1422（2015）02-0064-03

收稿日期：2015-01-20

作者簡介：陳海濱（1967-），男，廣東省梅州農業學校講師，大學本科。研究方向：數學教育。（廣東 梅州/514011）

在數學的教學活動中，教師往往側重于“教法”的積極探索而忽視對學生的“學法”的研究指導，造成整個教學過程脫節。于是，出現一個怪現象：課上教師盡所能、展才智充分調動學生積極性、激發學習興趣，學生聽得懂，叫好，而課后學生復習、練習、作業、考試時又感到不理解、不會做、考不好，叫苦，只開花不結果。那么怎樣才能使“教法”寓于“學法”，“學法”源于“教法”，將二者有機地結合起來，既開花又結果呢？這就要求教師要從不同的角度全方位地進行教學設計。筆者認為，教師是導演――統攬全局，也是演員――把握精辟，還是觀眾――期待效果。從教師的角度“導”出“教法”;從學生的角度“演”出“學法”;從家長的角度“觀”出效果。正是本著這樣的理念，經過多年的教學積累探索出一種教與學的通用之法――結構分析法。經過多年的實踐檢驗表明，此法特別適合代數教學。本文就以代數教學為例進行闡述。

所謂的“結構分析法”就是依據數學的換元思想，通過觀察分析數學概念、公式、法則等數學知識結構形式的特點，對其結構形式進行分解――確定“可變”與“不變”兩個部分，用中括號[ ]代替“可變部分”找出規律，揭示出其本質特征，從而深刻地理解其內涵，靈活地掌握和運用數學知識解決問題，提高教學效率的一種方法。

一、結構分析法在數學“教”的過程中的運用

（一）在數學概念教學方面的運用

例1.“函數概念”的教學分析。

函數是數學中十分重要的概念，是數學各個分支理論的重要基礎之一，在各個領域都有著廣泛的應用。由此可見，深刻地理解函數概念是至關重要的。然而，學生普遍感到較難理解“函數概念”，尤其是對用抽象符號：“y=f（x）”表示函數的理解感到一頭霧水。現在就從這里入手，運用“結構分析法”進行分析。

觀察，函數y=f（x）的結構形式進行如下分析：

這樣，學生容易片面地理解函數的概念：誤認為x就是自變量，y就是因變量，而解析式表示的就是函數。缺乏對函數概念的深層次地理解，導致在學習過程中遇到有關函數問題時，就問題多多。

現在，我們對上述結構形式進行分解，確定“可變”部分為x和y所在的位置，余者不變。用中括號[ ]代替“可變”部分――x和y所在的位置，就不難發現對于一個確定的函數，無論是具體的還是抽象的都可以理解如下：

顯然，在函數的構成要素中，最重要的是函數的定義域和對應法則，最難理解的就是“對應法則”（不變部分）。事實上，對于一個確定的函數其對應法則是不變的、抽象的。

現在，通過幾個例子加以說明如何運用結構分析法揭示出對應法則的本質特征。

例如，二次函數f（x）=3x2+2x+1的對應法則f的本質特征是：f[ ]=3×[ ]2+2×[ ]+1

函數值：當x=2時，有f（2）=3×22+2×2+1=17

當x=t時，有f（t）=3×t2+2×t+1=3t2+2t+1

對應法則f：[ ]內取2，則有f[2]=3×[2]2+2×[2]+1=3×22+2×2+1=17

[ ]內取t，則有f[t]=3×[t]2+2×[t]+1=3×t2+2×t+1=3t2+2t+1

顯然，f（2）=f[2]，f（t）=f[t]

再如，復合函數g（x）=lg（3 x2+2x）的對應法則g的本質特征是：g[ ]=lg（3×[ ]2+2×[ ]）

函數值：當x =2時，有g（2）=lg（3×22+2×2）=4lg2

當x=t時，有g（t）=lg（3×t2+2×t）= lg（3t2+2t）

對應法則g：[ ]內取2，則有g[2]=lg（3×[2]2+2×[2]）=lg（3×22+2×2）=4lg2

[ ]內取t，則有g[t]=lg（3×[t]2+2×[t]）= lg（3×t2+2×t）= lg（3t2+2t）

顯然，g（2）= g[ 2 ]， g（t）= g[t]

這就說明了對應法則的本質是理解時抽象而運用時又具體的一種對應關系。學生就容易理解函數f（t）=3t2+2t+1與函數f（x）=3x2+2x+1是同一個函數;函數g（x）=lg（3x2+2x）與函數g（t）=lg（3t2+2t）也是同一個函數。自然認同x、y只是一個記號，習慣用之而已。從而更加容易理解“每一個函數都有其對應法則，并且每一個自變量的取值按其對應法則都有唯一的因變量的值與之對應”的內涵。這樣，使學生通過“抽象――具體――抽象”的認識過程，進而深刻地理解函數概念的內涵。

像冪函數、指數函數、對數函數、三角函數及其復合函數，還有抽象函數等函數概念都可以運用“結構分析法”進行數學概念教學，使學生更加容易把握數學概念的本質特征，提高教學效果。

（二）在數學公式教學方面的運用

例2.三角函數中“誘導公式”的教學分析。

常用的誘導公式有9組36個公式，若要求學生死記硬背難度大且用時易錯，用“結構分析法”教學，可以概括出“口訣”，易記、好用、準確。

誘導公式中角的形式有9種：“2kπ±α（k∈Z），π±α，0-α，π2±α，3π2±α”。 觀察分析這9種角的結構形式發現：“2kπ，π，0”角的終邊都在橫軸上;“π2，3π2”角的終邊都在縱軸上。

（因篇幅所限，選幾組加以分析）

sin（π±α）=sinα

cos（π±α）==cosα

tan（π±α）=±tanα

cot（π±α）=±cotα公式（一）

可變部分“±”， 余者不變

sin（3π2±α）==cosα

cos（3π2±α）=±sinα

tan（3π2±α）=cotα

cot（3π2±α）=tanα

公式（二）

可變部分“±”、“名稱”， 余者不變

sin（π±α）=[ ]sinα

cos（π±α）=[ ]cosα

tan（π±α）=[ ]tanα

cot（π±α）=[ ]cotα

sin（3π2±α）=[ ][ ]α

cos（3π2±α）=[ ][ ]α

tan（3π2±α）=[ ][ ]α

cot（3π2±α）=[ ][ ]α

首先，確定函數“名稱”的變化規律。

觀察分析公式（一）、公式（二）兩邊的函數名稱發現：公式（一）名稱不變，且π角的終邊在橫軸上，公式（二）名稱改變，且3π2角的終邊在縱軸上，由此概括出函數“名稱”的變化規律：“縱變橫不變”。

其次，確定“±” 符號變化規律。

觀察分析公式（一）、公式（二）兩邊的函數值符號發現：等式左邊的函數值符號都是正的，而等式右邊的函數值符號是變化的，若把α看成是銳角時就會發現：由“π±α，3π2±α”角的終邊所在的象限確定的函數值符號排布規律與右邊函數值符號排布規律一致，這說明右邊的函數值“符號”是由左邊的“π±α，3π2±α”角的終邊所在的“象限”確定的函數值符號排布規律決定的。由此可以概括出符號變化規律：“符號看象限”。

這樣，可以得到誘導公式的口訣為：“縱變橫不變，符號看象限”。

例3.三角函數中“二倍角公式”的教學分析。

許多數學公式在理解和運用時，學生常常忽視它們內在成立的“條件”或者運用的“條件”，而片面地理解數學公式，導致用時易錯、缺乏靈活性。若用“結構分析法”教學，則可以使學生深刻理解公式的內涵，提高靈活運用的能力。

以“二倍角公式”的教學為例進行分析：

sin2α=2sinαcosα

cos2α=cos2α-sin2α

=1-2sin2α

=2cos2α-1

tan2α=2tanα1-tan2α

可變部分“2α，α”

sin[ ]=2sin[ ]cos[ ]

cos[ ]=cos2[ ]-sin2[ ]

=1-2sin2[ ]

=2cos2[ ]-1

tan[ ]=2tan[ ]1-tan2[ ]

觀察分析上述公式的結構形式發現“可變部分”是2α，α，余者“不變”，從而揭示出公式成立的“條件”：左邊角的“形式”是右邊角的“形式”的二倍，公式成立，反之亦然。于是，可以得到許多常用的結論：

如：sinα=2sinα2cosα2sinα2cosα2=12sinα;

sin2α=1-cos2α2 （降冪擴角公式）;

sinα2=±1-cosα2 （半角公式）

等等，這些在求三角函數的周期、最值等問題時常用。

由此看來，運用“結構分析法”進行數學公式教學，更加容易抓住數學公式的本質特征。若能概括出“口訣”，揭示出“條件”，就會使學生對數學公式的深刻理解和靈活掌握得到很大程度的提高，從而提高教學效果。

二、結構分析法在數學“學”的過程中的運用

（一） 觸類旁通，掌握新知識

1.引導學生學會概括數學公式（法則）的“口訣”，提高記憶效果和學習效率。

例4.引導概括：三角函數中“加法定理”的口訣。

sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ

cos（α±β）=cosαcosβsinαsinβ

tan（α±β）=tanα±tanβ1tanαtanβ

引導學生類似“誘導公式”的分析方法，觀察分析上述公式的結構形式，發現角的排布規律明顯――先α后β。

首先，觀察分析上述公式的三角函數名稱的排布規律發現：正弦、余弦名稱“改變”，正切名稱“不變”。由此可以概括為：“弦變切不變”。弦變之意為：“正弦正在先，名稱交替出現;余弦余在前、名稱重復出現”。

其次，觀察分析上述公式的“±”號的排列規律發現：正弦左右一致;余弦左右相反;正切分子一致，分母相反。由此可以概括為：“符號有順逆”。順逆之意為：“弦正順余逆;切上順下逆”。

因此，可以得到加法定理“口訣”為：“弦變切不變，符號有順逆”。

這樣，就抓住了數學公式的本質特征，在理解掌握數學公式時就會感到：易記、好用、準確、高效。

2.引導學生學會揭示數學公式（法則）的“條件”，提高理解運用的準確性和靈活性。

例5.引導學生學會揭示重要極限limx∞1+1xx=e的“條件”。

引導學生類似“二倍角公式”的分析方法，觀察分析上述公式的結構形式發現：“可變部分”是1x與x，且成倒數關系，余者“不變”。即limx∞1+[ ][ ]=e，于是，公式成立的“條件”是：小括號內的[ ]與小括號外的[ ]的結構形式成倒數關系且與x有關，當x∞時，小括號外的[ ]∞，公式成立。

再如，limx0sinxx=1limx0sin[ ][ ]=1。成立的“條件”是：[ ]內的結構形式一致且與有關，當x0時，[ ]0，公式成立。

這樣，在運用數學公式時，就能準確、靈活、快速地解決問題。

（二） 舉一反三，解決新問題

學以致用，舉幾個例子看一下由“結構分析法”得出的結果在數學解題中的應用。

例6.已知函數f（x）=x2+2，g（x）=2x+1，求f（g（x2））

解：g（x2）=2x2+1， g[]=2×[]+1 （對應法則g）

f（g（x2））=（g（x2））2+2，f[]=[]2+2（對應法則f ）

=（2x2+1）2+2

=4x4+4x2+3

例7.求函數y=sin（kx-π6）sin（kx+π3），k≠0的最小正周期。

解：y=sin（kx-π6）sinπ2+（kπ-π6）

=sin（kx-π6）cos（kx-π6） 縱變橫不變，符號看象限（誘導公式口訣）

=12sin（2kπ-π3）

左邊角是右邊角的一半，二倍角公式成立（條件）

最小正周期為：T=π|k|

例8.求limx∞2x+32x+1（x+1）

解：原式=limx∞1+22x+1x+12 +12

=limx∞1+1x+12x+121+1x+1212

=e?1=e 1x+12與x+12成倒數關系，公式成立（條件）

綜上所述，“結構分析法”在整個教學活動中，體現了二法合一的內在統一性。一法二用，不僅能使學生易于接受“教法”，理解知識，聽得明白，又能使學生利于掌握“學法”，學會思考，解決問題，還能使學生對數學概念、公式、法則等數學知識的深刻理解和靈活掌握得到很大程度的提高。從而能靈活多變地快速解決問題，提高學習效率，達到“授之以漁”的教學目的。

參考文獻：