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《中學數學雜志》2014年第十三期

一、高中數學教學中滲透數學推廣意識的策略

在高中數學課堂教學中滲透數學推廣意識，就是在數學概念和數學問題解決的教學過程中，以數學地認識問題和解決問題為核心任務，以數學知識的發(fā)生發(fā)展過程和理解數學知識的心理過程為基本線索，教師為學生設計并“構建前后一致邏輯連貫的學習過程”，［4］使學生在掌握數學知識的過程中養(yǎng)成數學的推廣意識，掌握數學推廣的基本方法和途徑.

1.分析數學概念的外延，剖析數學概念的推廣歷程中學期間的不少數學概念的前后之間往往具有很強的聯系性，先前的概念常常是后續(xù)概念的基礎，這是因為隨著學生掌握的數學知識的深入，數學概念的外延和內涵也在不斷的擴大，這就是數學概念的推廣.因此，在進行數學概念教學時，一方面我們要讓學生明白這個概念的產生基于什么樣的知識或者實際背景，它有什么意義，它的產生是為了解決什么問題；另一方面我們更要讓學生明白這個概念和前面概念的區(qū)別和聯系，為什么要把這個概念進行推廣，以及如何推廣等，通過引導學生對這些問題的思考和解答，不僅可以讓學生理解數學概念產生或推廣的必要性，以及數學概念推廣的邏輯順序，更好地領悟數學中推廣的含義，還可以讓學生參與到概念本質特征的概括過程中來，幫助學生自主地建構和領悟新的數學概念.比如，學生在初中學習了整數指數冪，到了高中要研究指數函數，因此，需要將指數從初中時的整數指數冪推廣到實數指數冪.為了幫助學生對指數從整數指數冪推廣到實數指數冪這一概念的理解，在教學中，我們可以讓學生從數學推廣的角度去經歷指數概念的推廣歷程：從整數指數冪到有理數指數冪的推廣，需要引入分數指數冪，以及把整數指數冪的運算性質推廣到分數指數冪的運算性質，進而再把有理數指數冪推廣到實數指數冪（當然這里還涉及無理數指數冪的情況），同時還要讓學生清楚有理數指數冪的運算性質同樣適用于實數指數冪，這樣在把新的指數概念納入到了相應的指數概念體系中去的同時，也讓學生體會到了指數概念逐步擴充和推廣的過程，這個過程為接下來學習和研究指數函數，以及冪函數奠定了基礎，也為對數的引入及對對數函數的研究做好了鋪墊.

2.重視多角度解決問題，探求數學命題推廣的本質解法在高中數學課堂教學中，教師可以選擇性地對一些典型的數學問題，引導學生進行分析、探究，從不同的角度尋求問題的解決辦法，這樣不僅可以開拓學生的解題思路、加強知識間的橫向聯系，更重要的是讓學生體會問題中所蘊含的數學思想方法，揭示數學本質，從而為問題的多角度解決或數學命題的推廣提供幫助。從上面的分析我們可以看到，我們若能仔細觀察題目的結構特點，聯想所學過的知識和方法，多角度思考，多角度探究，就會獲得問題的不同的解決方法，而且借助解法4我們由此得到了更一般的問題的解決方法，因此，這是讓學生通過一題多解體會數學命題推廣方法的一條有效的途徑.

3.觀察數學命題的“維數”，實現數學命題從“低維”到“高維”的推廣數學命題的“維數”一般指數學命題中的變量個數，“維數”還泛指未知數的個數、方程的次數、不等式的次數、函數迭代的次數、數表的階數等.利用數形結合的方法，我們可以得到結論：當c=2時，函數y=g（x）有5個零點；當c<2時，函數y=h（x）有9個零點；當c>2時，函數y=h（x）有1個零點.這里的函數g（x）相當于函數（fx）的2次迭代，那么對于函數（fx）的n次迭代，結論會怎么樣呢？結合例2的數形結合的解法，我們有如下的推廣，并可以用數學歸納法加以證明.在教學中，如果我們經常引導學生這樣對問題作合理的猜想和適度的拓展，勢必會提高學生分析問題和解決問題的能力，更重要的是能夠培養(yǎng)學生對數學命題的推廣意識，這為發(fā)現數學問題和提出數學問題提供了一個很好的方法.

4.反思同類數學問題的異同，關注數學問題的縱（橫）向推廣在高中數學的習題教學中，我們經常會遇到看似不同但內在本質完全一樣的題目，如果把這些本質類似的東西進行比較，并加以聯想就會推導出更廣的甚至一般性的結果.這種過程不僅是從特殊到一般的一種推理過程，實際上也是一種尋求解題思路，用類比的方法進行命題推廣的過程，從推廣的方向看，這種推廣屬于縱向推廣或橫向推廣.這樣的縱向推廣，不僅使學生領會了解決這一類問題的基本方法，更重要的是，通過推廣，讓學生體會到了用類比的方法把數學命題進行推廣的技巧，提高了學生學習數學的興趣和信心.

5.尋求數學知識之間的聯系，探索數學命題推廣的規(guī)律階段性的學習后，我們要引導學生總結、反思、整理所學的知識和方法，思考在所學的知識中是否存在某一類問題的規(guī)律、方法并加以運用或推廣.如果學生在做類似的工作時沒有什么頭緒，教師可以先給學生提出一些思考的方向，拋出一點“餌料”，啟發(fā)學生由此提出有意義的問題甚至得到一般性的結論.比如，在上完圓錐曲線的內容以后，有一次，筆者在課堂上“無意”中說起解析幾何中的命題的推廣的方法：如果某個命題的結論在圓中是成立的，那么我們可以考慮對這個結論作推廣，這個命題在橢圓、雙曲線、拋物線（甚至對于任意的二次曲線）背景下是否成立.例如，我們大家知道，如果一個直角頂點固定的直角三角形內接于圓，那么不管這個直角三角形直角邊的位置如何變化，其斜邊一定過一個定點，當然這個定點就是圓心.那么對于這個結論，你能不能進行推廣呢？一石激起千層浪，學生對這個問題的思考和推廣，遠遠超出了筆者的想象，得到了一系列非常漂亮的結論，并都得到了證明，筆者把他們的結論總結如下.學生將筆者在課堂上拋出的“餌料”演繹得出神入化，在和學生的交流中，筆者得知，在得到上述結論前，他們先是考慮直角三角形的直角頂點在原點的情況（先把曲線推廣為拋物線，因為拋物線是二次曲線中相對簡單的曲線），然后再把直角頂點移到一般的點P（x0，y0）處，也經歷了曲線從拋物線到橢圓再到雙曲線的演化過程，但最后有同學提出來，既然它們都是二次曲線，那么能不能有一個統(tǒng)一的結論，于是最后的兩個推廣結論就脫穎而出了.這樣的推廣方式正好體現了從特殊到一般的推廣方法，當然其中也用到了類比推廣的方法，通過這樣的推廣，學生的運算能力和歸納猜想能力得到了鍛煉，通過這樣的推廣，其訓練效果勝過做幾十道毫無聯系的解析幾何題目.

二、高中數學教學過程中滲透數學推廣意識應注意的幾個問題

當然，數學的發(fā)展不僅僅是推廣，但在高中數學教學中滲透數學的推廣意識，對教師卻是提出了更高的要求，教師除了要具有開闊的數學視野、了解與中學數學知識有關的擴展知識和內在的數學思想外，還必須要有對數學命題進行推廣的基本技能和教學意識.教師只有站在更高的起點，才能引領學生發(fā)現更好的問題，提出有研究價值的問題，才能成為學生進行數學推廣的組織者、指導者，使數學命題的推廣來得更自然、真實和富有啟發(fā)性.

1.數學推廣意識的培養(yǎng)的起點是解題后的回顧著名數學教育家G.波利亞說過：“數學問題的解決僅僅只是一半，更重要的是解題之后的回顧.”［5］所謂的回顧，就是解題后的總結和反思.為了提高學生發(fā)現問題、提出問題的能力，為了培養(yǎng)學生的推廣意識，在教學中，我們要有意識地引導學生進行解題后的總結和反思：你的解答嚴密嗎？有沒有重復和遺漏？這道題還有沒有其他解法？你會變式嗎（甚至于把這道題目變得面目全非）？你會用類比的方法把這道題的結論推廣嗎？這道題是怎么構造出來的，它的背景是什么？對解題思路、解題過程的反思，可以幫助學生判斷解題過程的正確與否；對解題方法的反思，可以幫助學生對所用的解題方法進行改進優(yōu)化，從而拓寬學生的解題路徑；對數學問題的拓展與推廣的反思，可以加深學生對問題本質的理解，提升學生的思維高度.所以，有人說，數學解題后的回顧是通過有限道題目的學習去領悟那種解無限道題目的一種數學機智，也是培養(yǎng)學生數學命題推廣意識的一條有效的途徑.

2.數學推廣意識的培養(yǎng)需要發(fā)揮學生思維的主動性18世紀德國物理學家李希坦伯格曾說：“那些曾經使你不得不親自去發(fā)現的東西，會在你腦海里留下一條途徑，一旦有所需要，你就可以重新運用它.”［6］因此，學生學習任何東西的最好途徑是自己去發(fā)現.在教學中，教師要引導學生養(yǎng)成主動推廣的意識，比如，教師在對問題進行分析和講解以前，可以讓學生猜猜結果或猜猜部分結果，在解完某一個數學問題后，要鼓勵和啟發(fā)學生對命題進行推廣.某一個數學命題推廣的思想應當在教師的啟發(fā)下從學生的腦子里自然地流淌出來，而教師僅僅只應起一個產婆的作用.教師的責任就是激發(fā)學生們學習數學的興趣，以及為學生構建前后一致邏輯連貫的學習過程，從而喚起學生對數學命題思考和推廣的欲望.

3.數學推廣意識的培養(yǎng)是一個潛移默化的過程我們還需要知道培養(yǎng)學生的數學推廣意識是一個長期的、潛移默化的過程，心理學研究表明，某一種技能和意識的形成過程是有階段性的，學生對數學命題的推廣意識的領悟也必然要遵循這個規(guī)律.因此，培養(yǎng)學生的數學推廣意識不能僅僅依賴于一兩節(jié)課，而是要通過長時間的熏陶和積累，我們不能忽略兩個重要的學習階段：探索階段和同化階段，因此，在課堂教學中，教師應當時常介紹更多一些帶有挑戰(zhàn)性的題目，一些具有豐富背景并值得深入探索的題目，一些能預先品味到科學家工作的題目，并保留一點時間對已完成的解法進行一些回顧性的總結和討論，這對培養(yǎng)學生的推廣意識無疑是有好處的.

作者：沈新權顧乙單位：浙江省嘉興市第一中學RiceUniversity